A computational perspective on meta-Fibonacci recurrence relations

Abstract

Bu doktora tezinde, bir bilgisayar cebir sistemi olan PARI/GP ile sağlanan detaylı hesaplamalı araştırmalar sayesinde meta-Fibonacci tekrarlama ilişkileri kavramını yeni bir yaklaşımla keşfediyoruz. İç içe geçmiş tekrarlama ilişkilerinin doğrusal olmayan tekrarların fark denklemlerinin bilinen ispat teknikleri açısından en dirençli alt sınıflarından biri olarak kabul edildiği bilinmektedir. Bu doğrultuda, iç içe geçmiş tekrarlama ilişkileri sistemleri arasındaki yeni yapısal bağlantı türlerine dayanan özellikleri kanıtlarken, yalnızca seçilen spesifik varyantları değil aynı zamanda belirli çözüm ailelerini de tanıtıyor ve analiz ediyoruz. Özellikle, iç içe geçmiş yinelemelerin dikkate değer bir sınıfı için sonsuz sayıda farklı çözümün varlığına ilişkin dikkate değer hesaplama kanıtları sağlıyoruz ve bunun, bazı yavaş çözüm aileleri için de kanıtlanabilir olduğunu gösteriyoruz. Ayrıca, kaotik meta-Fibonacci dizileri için nesil yöntemleri ve birbirini izleyen nesillerin ilgili istatistiksel özellikleri de tez kapsamında incelenmektedir.

In that Phd thesis, we explore meta-Fibonacci recurrence relations concept in a new approach thanks to detailed computational investigations that are provided by a computer algebra system PARI/GP. It is well known that nested recurrence relations are considered one of the most resistant subclasses of nonlinear recurrences to known proof techniques of difference equations. In that direction, we introduce and analyse not only selected spesific variants but also certain solution families while we prove their properties based on new types of structural connections between systems of nested recurrence relations. In particular, we provide remarkable computational evidences on the existence of infinitely many different solutions for a notable class of nested recurrences while this is also provable for certain families of slow solutions. Additionally, generational methods for erratic meta-Fibonacci sequences, and related statistical properties of successive generations are studied in the scope of the thesis.